Ensembles finis Exemples

$8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Étape 1

Factorisez $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25$

Étape 1.3

Remplacez $- 0.25$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.25$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $- 0.25$ dans le polynôme.

$8 {(- 0.25)}^{3} - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 1.3.2

Élevez $- 0.25$ à la puissance $3$ .

$8 \cdot - 0.015625 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $8$ par $- 0.015625$ .

$- 0.125 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 1.3.4

Élevez $- 0.25$ à la puissance $2$ .

$- 0.125 - 10 \cdot 0.0625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 10$ par $0.0625$ .

$- 0.125 - 0.625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 1.3.6

Soustrayez $0.625$ de $- 0.125$ .

$- 0.75 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 7$ par $- 0.25$ .

$- 0.75 + 1.75 - 1$

Étape 1.3.8

Additionnez $- 0.75$ et $1.75$ .

$1 - 1$

Étape 1.3.9

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $- 0.25$ est une racine connue, divisez le polynôme par $4 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1}{4 x + 1}$

Étape 1.5

Divisez $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ par $4 x + 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x$

$1$

$8 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x$

$1$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

					$2 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							-	$4 x$	-	$1$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 3 x - 1$

Étape 1.6

Écrivez $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 4

Définissez $2 x^{2} - 3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $2 x^{2} - 3 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 3$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.4.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 4.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.5.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 4.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Forme décimale :

$x = - 0.25, 1.78077640 \dots, - 0.28077640 \dots$